答案： An=n!(1-1/1!+1/2!-1/3！+...+(-1)^n*1/n!)
一会儿回来提供三种证明思路
思路一：数学归纳法。这个没什么可说。
思路二：注意到An/A(n-1)大致是n, 令 An=n!bn, 代入，得
bn-b(n-1)=-(b(n-1)-b(n-2))/n, b1=0, b2=1/2.
所以，bn-b(n-1)=-(b(n-1)-b(n-2))/n=-(-(b(n-2)-b(n-3))/(n-1))/n=...=(-1)^(n-2)(b2-b1)/(n*(n-1)*...*3)=(-1)^n*1/n!,
所以 bn=1-1/1!+1/2!-1/3！+...+(-1)^n*1/n!， An=n!bn等于上式。
思路三：这个公式是错置排列的公式。所谓错置排列，有一个通俗的说法。n 个人， 每人有一顶自己的帽子。 An 是他们每个人都戴错帽子的戴法数目。显然 A1=0 （一个人不可能戴错)， A2=1。对n>2的情况，第 n 个人的帽子必然戴到 某个第 i 人头上，i=1，2，..., n-1, 这有两种情况 1）第i个人的帽子戴到第n个人头上，则其余 n-2 个人要互相戴错，共有 A（n-2)种戴法；
2）另外一个人的帽子戴到第n个人头上，此时共有 A(n-1)种戴法。 总之，我们有 An=(n-1)(A(n-1)+A(n-2)), n>2. 而我们可以用容斥原理算出错置排列的数目如上，所以必然有An等于上面的数。
七品官帽子的做法
1.这个折纸游戏需要四方形的纸，先将长方形的A4纸裁成正方形。
2.将正方形的四个角向中心折形成新的小一号正方形，之后折角这面向上从中心向下(后)对折成长方形——此时的形状为左下和右下有两个三角，正上方有一个大三角。
3.将左下侧三角向后折，右下侧三角向前折——此时外观是一个大三角。
4.从三角的底部中心处打开变换一下角度使其变成一个上下有一条中心缝的菱形(正方形：对角线处有一纸缝)。
5.掀起上面一层向上折到三分之一处(尖儿离顶部有一段距离)，然后再折一下，折叠处到菱形的中心。
6.翻个，将后面菱形中心的纸缝打开折一下使之呈长方形——此时的形状是三层：一层是
前面官帽的前脸(小三角形)，一层是菱形，一层是长方形。
7.将前后两层(小三角及长方形)的两侧对折一下，此时的外观呈菱形右上角多一块。
8.左侧(官帽前脸)角向中心缝处折一下，右侧也向中心缝处折一下；然后调一个，如法重复。
9.将下半部沿中间部位向上折，前后都折。
10.至此，官帽已基本折好。从下面撑 开，平放在桌上，将内部用手捅捅，使 其内部空间更大些。一个七品芝麻官帽就完成了。
水晶的左右手佩戴法？
先了解水晶的运用，再从自己的需要（加、减）去决定戴左手和右手了。也有轮位过盛，比如说太阳轮能量过多变得理智，想做人傻傻、开心点，可戴黄水晶、黄玉在右手，戴几天有改善可以拿走，再戴别的宝石；要增强心轮，可戴绿、枌红色的宝石在左手或项链在心轮。
紫水晶。戴左手：培养气质、增加智慧、有考运、灵性上的提升；戴右手：散发个人气质、释放头痛时的负能量。
黑曜岩，对应轮位：海底轮（黑色），特制：吸收能力强。戴左手：对应下半身功能（海底轮）有帮助；戴右手：吸收身体排出的负能量。
如钛晶、黄晶、绿幽灵等一般人用来求财，则建议配载于左手，如茶晶、白晶等可帮助排放负磁场之水晶建议可载于右手。也有一些水晶如石榴石、烟水晶，戴左右手都可以，贴身就可以了。水晶的作用就像永久化妆permanent
makeup，一直存在，如果更加喜欢的话，像水晶奖杯形状的工艺品都是可以放在家中当摆设。